Qualche volta ci sarà capitato di imbatterci con il cosidetto "paradosso dei due gemelli" e ci saremo forse detti fra noi: "ma che follia è mai questa ?". Per chi avesse avuto la ventura (o forse la "fortuna") di non averlo mai sentito nominare, lo riassumo qui di seguito in breve.
Suscita sempre molta meraviglia quello che è comunemente conosciuto come il paradosso dei due gemelli. Se uno di loro parte, per un viaggio di andata e ritorno, verso una stella lontana ad una velocità vicina a quella della luce, quando tornerà, troverà il suo fratello molto più vecchio. Per lui il tempo è trascorso in effetti molto più lentamente.
Suscita sempre molta meraviglia quello che è comunemente conosciuto come il paradosso dei due gemelli. Se uno di loro parte, per un viaggio di andata e ritorno, verso una stella lontana ad una velocità vicina a quella della luce, quando tornerà, troverà il suo fratello molto più vecchio. Per lui il tempo è trascorso in effetti molto più lentamente.
A questo punto, dovendo essere la velocità della luce sempre la stessa per tutti i riferimenti, A concluderà che, quando il suo orologio indica che e` passato un secondo (ovvero il raggio di luce ha raggiunto lo specchio), il segnale dell'orologio di B non lo ha ancora raggiunto, dovendo in effetti percorrere piú strada.
Consideriamo allora due sistemi di riferimento, A e B, dotati entrambi di un orologio radar, composto da un radar ed uno specchio riflettente posto, tanto per semplificarci la vita, a distanza c (ovvero a 299.792.458 metri).
A con il suo orologio è fermo, B si muove su due binari paralleli insieme al suo orologio radar a partire dall'origine di A. Assumiamo adesso che B cominci muoversi rispetto ad A con velocitá v. Per A il tempo che trascorre tra l'invio dell'impulso e la sua riflessione sullo specchio è pari a 1 secondo.
A con il suo orologio è fermo, B si muove su due binari paralleli insieme al suo orologio radar a partire dall'origine di A. Assumiamo adesso che B cominci muoversi rispetto ad A con velocitá v. Per A il tempo che trascorre tra l'invio dell'impulso e la sua riflessione sullo specchio è pari a 1 secondo.
Se assumiamo vera questa ipotesi, in effetti "tutto cambia" e finiremo di fatto con lo "scardinare" dalle fondamenta tutta l'impalcatura filosofica su cui era basata la vecchia meccanica newtoniana, basata sul concetto, almeno apparentemente piu` che intuitivo, ma in realta` non corretto, che lo spazio ed il tempo fossero entità assolute ed uguali per tutti i sistemi di riferimento.
Con linguaggio moderno possiamo dire che Newton supponeva che intervalli di tempo e di spazio misurati da osservatori posti in moto uniforme (dicesi inerziali) l'uno rispetto agli altri devono coincidere. Tornando all'esempio del treno, il tempo trascorso dal lancio della palla alla sua caduta sul pavimento del vagone doveva essere lo stesso, se misurato dall'osservatore sul treno e da quello a terra. Identica cosa per lo spazio percorso dalla palla.
Ebbene questi concetti, così "banali" ed "intuitivi", sono stati "scardinati" dalla teoria della relatività ristretta di Einstein. La costanza della velocità della luce implica che le misure di tempo e spazio non sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, ma dipendono dal moto relativo degli stessi (NdR: da cui il famoso detto "Tutto e` relativo", bhe, e questo viene spesso dimenticato, a parte la velocitá della luce).
Con linguaggio moderno possiamo dire che Newton supponeva che intervalli di tempo e di spazio misurati da osservatori posti in moto uniforme (dicesi inerziali) l'uno rispetto agli altri devono coincidere. Tornando all'esempio del treno, il tempo trascorso dal lancio della palla alla sua caduta sul pavimento del vagone doveva essere lo stesso, se misurato dall'osservatore sul treno e da quello a terra. Identica cosa per lo spazio percorso dalla palla.
Ebbene questi concetti, così "banali" ed "intuitivi", sono stati "scardinati" dalla teoria della relatività ristretta di Einstein. La costanza della velocità della luce implica che le misure di tempo e spazio non sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, ma dipendono dal moto relativo degli stessi (NdR: da cui il famoso detto "Tutto e` relativo", bhe, e questo viene spesso dimenticato, a parte la velocitá della luce).
Come e` mai possibile tutto questo ?!?
Nella sezione precedente abbiamo affermato che il risultato dell'esperimento di Michelson e Morley evidenziò che due raggi di luce, in movimento reciproco fra loro diverso, si muovono di fatto sempre alla stessa velocità c per un osservatore esterno.
Nella sezione precedente abbiamo affermato che il risultato dell'esperimento di Michelson e Morley evidenziò che due raggi di luce, in movimento reciproco fra loro diverso, si muovono di fatto sempre alla stessa velocità c per un osservatore esterno.
A vede B muoversi e, nel tempo impiegato al segnale emesso da B a compiere il tragitto emittente-specchio, l'apparato si sposta (ad esempio verso destra), cosicché il segnale percorre un tragitto obliquo, e quindi conseguentemente maggiore della distanza lineare c che separa i due elementi dell'orologio radar.
A questo punto, dovendo essere la velocità della luce la stessa, A concluderà che quando il suo orologio indica che è passato un secondo (ovvero il raggio di luce ha raggiunto lo specchio), il segnale dell'orologio di B non lo ha ancora raggiunto, dovendo in effetti percorrere piú strada. A pertanto conclude che l'orologio di B rallenta.
A questo punto, dovendo essere la velocità della luce la stessa, A concluderà che quando il suo orologio indica che è passato un secondo (ovvero il raggio di luce ha raggiunto lo specchio), il segnale dell'orologio di B non lo ha ancora raggiunto, dovendo in effetti percorrere piú strada. A pertanto conclude che l'orologio di B rallenta.
Documentario che spiega in modo "semplice" la teoria della relatività ristretta
La relatività spiegata da Piero Angela con i disegni di Bruno Bozzetto
Piergiorgio Odifreddi - Einstein e la relatività (1)
Piergiorgio Odifreddi - Einstein e la relatività (2)
Piergiorgio Odifreddi - Einstein e la relatività (3)
Piergiorgio Odifreddi - Einstein e la relatività (4)
Piergiorgio Odifreddi - Einstein e la relatività (5)
Piergiorgio Odifreddi - Einstein e la relatività (6)
60 seconds adventures in Thought - The incredible "Twin Paradox"
Adesso puoi proseguire con gli enunciati della Relatività Generale oppure tornare in cima alla Pagina per operare altre scelte.
A pertanto conclude che l'orologio di B rallenta. Al limite, se B si muovesse a velocità c rispetto ad A, A osserverà di fatto il tempo dell'altro "fermarsi". Se ci pensiamo bene, in effetti, il raggio di luce di B, muovendosi già a velocità c lungo la rotaia, si fermerà nel suo movimento verticale, dandoci l'evidenza che il tempo di B si e` "fermato". Per capirlo meglio possiamo dare un'occhiata all'esperimento "animato" attivabile premendo l'area riportata qui a fianco.
LA RELATIVITA' SPECIALE (O "RISTRETTA")
Ho voluto iniziare con alcuni concetti base, più "intuitivi" che "matematici", mantenendo un profilo piuttosto soft, comunque sappiate che, se mi avete "seguito" finora, avete già affrontato uno degli aspetti principali e più affascinanti della teoria della relatività, gli effetti sul tempo.
Ma ora ripartiamo dalla "Teoria".
La teoria della relatività speciale è una riformulazione, pubblicata da Albert Einstein nel 1905, della meccanica classica. In relatività speciale, il legame matematico fra le misure di spazio e tempo effettuate da un osservatore e quelle effettuate da un secondo osservatore, entrambi inerziali, viene ora espresso attraverso la trasformazione di Lorentz invece che dalla trasformazione di Galileo.
La relatività speciale fu introdotta a seguito dei risultati dell'esperimento di Michelson e Morley, che avevano mostrato che la velocità della luce nel vuoto era la stessa per qualunque osservatore, in contrasto con la legge di composizione delle velocità che derivava dalle trasformazioni di Galileo; Einstein fornì in questo modo un'interpretazione teorica fondamentale degli effetti di "contrazione dello spazio" e "dilatazione dei tempi" che erano stati proposti per spiegare la costanza della velocità della luce nel vuoto.
Einstein formulò quindi la sua teoria sulla base dei seguenti postulati:
Postulato n.1: le leggi meccaniche, elettromagnetiche e ottiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Postulato n.2: la luce si propaga nel vuoto a velocità costante c indipendente dallo stato di moto della sorgente o dell'osservatore.
Dalla modifica della cinematica relativa introdotta da Einstein discendono una serie di conseguenze, tra cui il principio di simultaneità, che enuncia il fatto che due eventi simultanei per il primo osservatore non lo sono più in generale per il secondo osservatore.
Ho voluto iniziare con alcuni concetti base, più "intuitivi" che "matematici", mantenendo un profilo piuttosto soft, comunque sappiate che, se mi avete "seguito" finora, avete già affrontato uno degli aspetti principali e più affascinanti della teoria della relatività, gli effetti sul tempo.
Ma ora ripartiamo dalla "Teoria".
La teoria della relatività speciale è una riformulazione, pubblicata da Albert Einstein nel 1905, della meccanica classica. In relatività speciale, il legame matematico fra le misure di spazio e tempo effettuate da un osservatore e quelle effettuate da un secondo osservatore, entrambi inerziali, viene ora espresso attraverso la trasformazione di Lorentz invece che dalla trasformazione di Galileo.
La relatività speciale fu introdotta a seguito dei risultati dell'esperimento di Michelson e Morley, che avevano mostrato che la velocità della luce nel vuoto era la stessa per qualunque osservatore, in contrasto con la legge di composizione delle velocità che derivava dalle trasformazioni di Galileo; Einstein fornì in questo modo un'interpretazione teorica fondamentale degli effetti di "contrazione dello spazio" e "dilatazione dei tempi" che erano stati proposti per spiegare la costanza della velocità della luce nel vuoto.
Einstein formulò quindi la sua teoria sulla base dei seguenti postulati:
Postulato n.1: le leggi meccaniche, elettromagnetiche e ottiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Postulato n.2: la luce si propaga nel vuoto a velocità costante c indipendente dallo stato di moto della sorgente o dell'osservatore.
Dalla modifica della cinematica relativa introdotta da Einstein discendono una serie di conseguenze, tra cui il principio di simultaneità, che enuncia il fatto che due eventi simultanei per il primo osservatore non lo sono più in generale per il secondo osservatore.
LE TRAFORMAZIONI DI LORENTZ
A partire dai due postulati ammessi da Einstein, che come si è visto erano incompatibili con la descrizione fisica offerta dalla fisica classica, si trattò di definire le nuove trasformazioni che permettessero di passare da un sistema di coordinate ad un altro in moto relativo.
Trasformazioni di questo genere, che hanno come caratteristica l'invarianza delle equazioni di Maxwell, erano già note come trasformazioni di Lorentz, dal nome del fisico olandese Hendrik Lorentz che le aveva formulate nel 1897 proprio per spiegare i risultati dell'esperimento di Michelson. Egli infatti riteneva che la rilevazione dei fenomeni fisici fosse intrinsecamente falsata da una contrazione delle lunghezze e una dilatazione dei tempi che rendeva impossibile l'osservazione dell'etere, e questo era stato a suo parere il vero motivo del fallimento dell'esperimento di Michelson. In altri termini, Lorentz aveva già formulato le trasformazioni che sarebbero diventate la base della relatività ristretta, ma aveva mantenuto come valido il concetto di etere ed attribuito la rilevazione falsata ad un difetto di osservabilità della natura del fenomeno. Einstein diede invece un pieno significato alle trasformazioni di Lorentz, inserendole nel quadro teorico più ampio della relatività ristretta, all'interno della quale queste risultano come conseguenza delle premesse teoriche stesse.
A partire dai due postulati ammessi da Einstein, che come si è visto erano incompatibili con la descrizione fisica offerta dalla fisica classica, si trattò di definire le nuove trasformazioni che permettessero di passare da un sistema di coordinate ad un altro in moto relativo.
Trasformazioni di questo genere, che hanno come caratteristica l'invarianza delle equazioni di Maxwell, erano già note come trasformazioni di Lorentz, dal nome del fisico olandese Hendrik Lorentz che le aveva formulate nel 1897 proprio per spiegare i risultati dell'esperimento di Michelson. Egli infatti riteneva che la rilevazione dei fenomeni fisici fosse intrinsecamente falsata da una contrazione delle lunghezze e una dilatazione dei tempi che rendeva impossibile l'osservazione dell'etere, e questo era stato a suo parere il vero motivo del fallimento dell'esperimento di Michelson. In altri termini, Lorentz aveva già formulato le trasformazioni che sarebbero diventate la base della relatività ristretta, ma aveva mantenuto come valido il concetto di etere ed attribuito la rilevazione falsata ad un difetto di osservabilità della natura del fenomeno. Einstein diede invece un pieno significato alle trasformazioni di Lorentz, inserendole nel quadro teorico più ampio della relatività ristretta, all'interno della quale queste risultano come conseguenza delle premesse teoriche stesse.
Piergiorgio Odifreddi legge Einstein
Vediamo come possiamo ricavare la trasformazione di Lorentz per il tempo semplicemente applicando quanto ci ha detto Einstein relativamente alla costanza della velocità della luce rispetto ad un qualsiasi sistema di riferimento inerziale.
Con riferimento alla figura, se l’orologio B si muove con velocità v ed il fotone in movimento impiega tM secondi per compiere un tragitto completo da uno specchio all’altro secondo la misurazione dell’orologio fermo in A, allora la distanza percorsa dall’orologio quando il fotone raggiunge lo specchio inferiore è pari a v tM.
A questo punto, grazie al teorema di Pitagora, possiamo dire che la distanza percorsa in diagonale dal fotone in movimento sarà pari a (v tM)2 + h2. Essendo la velocità della luce una costante indicata con c, il fotone in movimento impiegherà tM = (v tM)2 + h2 / c per completare il percorso da uno specchio all’altro del sistema B.
A questo punto possiamo ricavare il tempo impiegato in funzione della velocità di B, che sarà pari a tM = h / c2 - v2. La formula analoga per l’orologio in quiete è tQ = h / c, per cui, per semplice “trasposizione”, possiamo ricavare la relazione esistente fra i due “tempi”, che è pertanto pari a:
A questo punto, grazie al teorema di Pitagora, possiamo dire che la distanza percorsa in diagonale dal fotone in movimento sarà pari a (v tM)2 + h2. Essendo la velocità della luce una costante indicata con c, il fotone in movimento impiegherà tM = (v tM)2 + h2 / c per completare il percorso da uno specchio all’altro del sistema B.
A questo punto possiamo ricavare il tempo impiegato in funzione della velocità di B, che sarà pari a tM = h / c2 - v2. La formula analoga per l’orologio in quiete è tQ = h / c, per cui, per semplice “trasposizione”, possiamo ricavare la relazione esistente fra i due “tempi”, che è pertanto pari a:
Orologi "fotonici" in movimento
Questa relazione ci mostra che il ciclo dell’orologio in moto in B è più lento di quello fermo in A, seguono una serie di valori corrispondenti di tM al variare della velocità per tQ = 1 secondo:
per v = 0 Km/s, tM = 1,00 sec.
per v = 100.000 Km/s, tM = 1,06 sec.
per v = 200.000 Km/s, tM = 1,34 sec.
per v = 240.000 Km/s, tM = 1,66 sec.
per v = 260.000 Km/s, tM = 2,00 sec.
per v = 290.000 Km/s, tM = 3,91 sec.
per v = 300.000 Km/s, tM = (tempo “infinito”)
Il fenomeno sintetizzato dalla formula che pone in relazione tM con tQ è noto come dilatazione del tempo. Un analogo fenomeno avviene per lo spazio, che invece si contrae sempre più con l'approssimarsi alla velocità della luce. Quest'altro fenomeno è ben noto e definito come contrazione dello spazio, di cui segue la formulazione.
OSSERVAZIONI E CONSEGUENZE
Innanzitutto Vi invito a notare che, in entrambi i casi, per velocità piccole rispetto a c (velocità della luce), le formule si riducono all'uguaglianza (tM = tQ e LM = LQ). Si noti come questo limite, chiamato limite classico, possa essere concettualmente ottenuto sia per v piccolo che per c = infinito; infatti una velocità infinita della luce, significa poter stabilire una simultaneità assoluta e quindi un ritorno alla visione classica. Il limite classico è una condizione necessaria della teoria, poiché per piccoli valori di v / c (detto anche ß, o fattore di Lorentz) gli effetti relativistici non sono praticamente misurabili, e questo si concilia perfettamente con la visione della fisica classica galileana e newtoniana. In questo senso, la teoria einsteiniana è una generalizzazione alle alte velocità della fisica di Newton e Galileo.
Come seconda osservazione possiamo dedurre che nessun corpo massivo può assumere velocità uguali o superiori a c. Le trasformazioni di Lorentz per v > c non sono definite, dato che i valori sotto radice diventano negativi. La velocità della luce è un limite fisico che non può essere superato. Un corpo può essere accelerato in un tempo finito solo ad una frazione della velocità della luce minore di 1. I corpi senza massa materiale, come i fotoni stessi, viaggiano sin dalla loro emissione alla velocità della luce. Da ciò si può dedurre che qualsiasi elemento di massa zero, si muoverebbe alla velocità della luce
La contrazione delle lunghezze non deve essere vista come se il metro variasse la sua dimensione o come se l'orologio segnasse un tempo diverso. Le misure infatti saranno differenti solo se effettuate da un altro osservatore in moto relativo: la lunghezza del proprio metro e la durata del proprio minuto è la stessa per tutti gli osservatori. C'è da specificare, inoltre, che il restringimento della lunghezza secondo la teoria della relatività ristretta avviene soltanto nella direzione di avanzamento, e sia lo scorrere più lento del tempo, sia il restringimento dello spazio, si verificano contemporaneamente.
La teoria ammette questi effetti come conseguenza della peculiarità di c e del moto relativo e quindi come conseguenza del nostro modo di guardare le cose. La lunghezza propria è la più grande fra tutte le lunghezze relative ai punti di vista, ma non per questo è più reale delle altre. Sarebbe come notare che più lontani siamo da un oggetto e più piccolo questo ci sembra: niente ci può dire se l'oggetto si rimpicciolisce veramente o se sia un effetto della distanza. Non ha quindi senso domandarsi se si tratti di un fenomeno reale o apparente. Inoltre la persona che ipoteticamente sperimentasse la contrazione dello spazio, non avrebbe la sensazione di sentirsi ristretta, in quanto il suo sistema di misurazione rimarrebbe lo stesso (Il suo metro sarebbe sempre lungo 1 metro, il centimetro uguale etc..)
Le trasformazioni di Lorentz trattano il tempo alla stregua di una qualunque coordinata spaziale; dato che un evento può essere sempre individuato tramite la sua posizione nello spazio e lungo l'asse temporale, il formalismo relativistico può essere formulato in uno spazio a 4 dimensioni, lo spazio-tempo di Minkowsky, nel quale le prime tre coordinate coincidono con le normali coordinate spaziali e la quarta è rappresentata dal tempo. Un evento è individuato quindi dai 4 numeri (x, y, z, ct). In generale, nella teoria della relatività ad avere valore assoluto non sono le misure delle distanze nello spazio o gli intervalli di tempo, quanto la separazione (distanza pseudoeuclidea) fra gli eventi (i punti dello spazio-tempo quadridimensionale). Le trasformazioni di Lorentz sono le trasformazioni lineari che connettono fra loro sistemi diversi di coordinate spazio-temporali lasciando invariata la separazione spazio-temporale fra ogni coppia di eventi.
Innanzitutto Vi invito a notare che, in entrambi i casi, per velocità piccole rispetto a c (velocità della luce), le formule si riducono all'uguaglianza (tM = tQ e LM = LQ). Si noti come questo limite, chiamato limite classico, possa essere concettualmente ottenuto sia per v piccolo che per c = infinito; infatti una velocità infinita della luce, significa poter stabilire una simultaneità assoluta e quindi un ritorno alla visione classica. Il limite classico è una condizione necessaria della teoria, poiché per piccoli valori di v / c (detto anche ß, o fattore di Lorentz) gli effetti relativistici non sono praticamente misurabili, e questo si concilia perfettamente con la visione della fisica classica galileana e newtoniana. In questo senso, la teoria einsteiniana è una generalizzazione alle alte velocità della fisica di Newton e Galileo.
Come seconda osservazione possiamo dedurre che nessun corpo massivo può assumere velocità uguali o superiori a c. Le trasformazioni di Lorentz per v > c non sono definite, dato che i valori sotto radice diventano negativi. La velocità della luce è un limite fisico che non può essere superato. Un corpo può essere accelerato in un tempo finito solo ad una frazione della velocità della luce minore di 1. I corpi senza massa materiale, come i fotoni stessi, viaggiano sin dalla loro emissione alla velocità della luce. Da ciò si può dedurre che qualsiasi elemento di massa zero, si muoverebbe alla velocità della luce
La contrazione delle lunghezze non deve essere vista come se il metro variasse la sua dimensione o come se l'orologio segnasse un tempo diverso. Le misure infatti saranno differenti solo se effettuate da un altro osservatore in moto relativo: la lunghezza del proprio metro e la durata del proprio minuto è la stessa per tutti gli osservatori. C'è da specificare, inoltre, che il restringimento della lunghezza secondo la teoria della relatività ristretta avviene soltanto nella direzione di avanzamento, e sia lo scorrere più lento del tempo, sia il restringimento dello spazio, si verificano contemporaneamente.
La teoria ammette questi effetti come conseguenza della peculiarità di c e del moto relativo e quindi come conseguenza del nostro modo di guardare le cose. La lunghezza propria è la più grande fra tutte le lunghezze relative ai punti di vista, ma non per questo è più reale delle altre. Sarebbe come notare che più lontani siamo da un oggetto e più piccolo questo ci sembra: niente ci può dire se l'oggetto si rimpicciolisce veramente o se sia un effetto della distanza. Non ha quindi senso domandarsi se si tratti di un fenomeno reale o apparente. Inoltre la persona che ipoteticamente sperimentasse la contrazione dello spazio, non avrebbe la sensazione di sentirsi ristretta, in quanto il suo sistema di misurazione rimarrebbe lo stesso (Il suo metro sarebbe sempre lungo 1 metro, il centimetro uguale etc..)
Le trasformazioni di Lorentz trattano il tempo alla stregua di una qualunque coordinata spaziale; dato che un evento può essere sempre individuato tramite la sua posizione nello spazio e lungo l'asse temporale, il formalismo relativistico può essere formulato in uno spazio a 4 dimensioni, lo spazio-tempo di Minkowsky, nel quale le prime tre coordinate coincidono con le normali coordinate spaziali e la quarta è rappresentata dal tempo. Un evento è individuato quindi dai 4 numeri (x, y, z, ct). In generale, nella teoria della relatività ad avere valore assoluto non sono le misure delle distanze nello spazio o gli intervalli di tempo, quanto la separazione (distanza pseudoeuclidea) fra gli eventi (i punti dello spazio-tempo quadridimensionale). Le trasformazioni di Lorentz sono le trasformazioni lineari che connettono fra loro sistemi diversi di coordinate spazio-temporali lasciando invariata la separazione spazio-temporale fra ogni coppia di eventi.
Easy to understand animation explaining Einstein's Theory
Hendrik Antoon Lorentz
Lorentz Transformations for Position and Time (1)
Lorentz Transformations for Position and Time (2)
A lesson on Lorentz Transformations at Yale
Relazione fra la velocità ed il tempo
Hermann Minkowski
Einstein's Theory of Relativity made Easy
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